2021年10月30日全国教师资格证考试《高中数学》题

2021年10月30日全国教师资格证考试《高中数学》题

一、单项选择题。本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1、矩阵的秩是（  ）。

A、1

B、2

C、3

D、4

2、已知向量i-2j+3k，2i+3j-3k，则的值是（  ）。

A、-39

B、-13

C、**

D、39

3、的值是（  ）。

A、*

B、1

C、2

D、

4、已知一条曲线的一条切线与直线x+y-3=0垂直，则该切线方程是（  ）。

A、*****

B、y=x

C、y=-x+e

D、y=x+e

5、在空间直角坐标系中,将椭圆绕转一周，所得旋转曲面的方程是（  ）。

A、x²+y²-z²/9=1

B、x²-y²+z²/9=1

C、x²/9-y²+z²/9=1

D、x²+y²/9-z²/9=1

6、已知属于不同特征值的特征向量线性无关，若λ₁、λ₂是矩阵A的两个不同的特征值。所对特征向量分别是，，则向量与线性无关的充分必要条件是（  ）。

A、λ₁≠0

B、λ₂≠0

C、暂缺失

D、暂缺失

7、第十四届国际数学教育大会（ICME-14）于2021年7月在中国上海举行，ICME-14的会标如图1所示，其中没有涉及的数学元素是（  ）。

A、旋转变换

B、勾股弦图

C、杨辉三角图

D、数字进位制

8、高中数学教学中的周期函数是（  ）。

A、反三角函数

B、三角函数

C、对数函数

D、指数函数

二、简答题。本大题共5小题，每小题7分，共35分

9、已知向量，，，且行列式

（1）若行列式A=0，求k的值。

（2）当行列式A=0时，将向量表示为的线性组合。

10、求由y=arctanx与直线y=x，x=2所围成平面区域的面积。

11、甲乙两人进行射击比赛，各射击3次，击中次数多者获胜。假设他们每次击中的概率均为1/2。且每次射击是相互独立的。

（1）求乙在3次射击中恰好击中1次的概率；

（2）已知甲在3次射击中恰好击中2次，求甲获胜的概率。

12、学生能够获得进一步学习以及未来发展所必须的“四基"和“四能”是普通高中数学课程的**之一，回答“四基”和“四能”分别是什么。

13、结合实例，简述什么是简单随机抽样和分层随机抽样。

三、解答题。本大题1小题，共10分。

14、已知f(x)在[a,b]上连续，且a<c<d<b，f(c)+f(d)=k，证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得2f(ξ)=k。

四、论述题。本大题1小题，共15分。

15、函数是中学数学的重要概念，回答下列问题：

（1）写出高中阶段函数的定义；（5分）

（2）阐述高中阶段函数的定义与初中阶段函数的定义的相同点与不同点。（10分）

五、案例分析题。本大题共1题，共20分。

（一）

在学习了同角三角函数的公式后，老师给学生布置了道题目。

sinα-cosα=-√5/5，π<α<3π/2

求 tanα的值。

一名学生的求解过程如下：

解：依题意和同角三角函数基本**得：；

消去sinα，得5cos²α-√5cosα-2=0；

进而得cosα=2√5/5或cosα=-√5/5；

因为sin²α+cos²α=1；

所以sinα=√5/5或sinα=2√5/5；

所以tanα=cosα/sinα=1/2或tanα=cosα/sinα=-2；

因为π<α<3π/2；

所以tanα=1/2。

16、问题：

（1）单一主观题指出这名学生在求解过程的错误；（6分）

（2）给出上述题目的正确解法。（6分）

（3）根据此题的错误之处，分析这名学生在运算和逻辑推理方面的不足。（8分）

六、教学设计题。本大题共1题，共30分。

（二）

下面是某高中数学教材“点到直线的距离公式”一节的内容片段：

探究如图2，已知点P(x₀,y₀)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离？

点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足（图2）。因此，求出垂足Q的坐标，利用点到直线的距离公式求出|PQ|，就可以得到点P到直线l的距离。

设A≠0，B≠0，由PQ⟂l，以及直线l的斜率为-A/B，可得l的垂线PQ的斜率为B/A，因此，直线PQ的方程为y-y₀=B/A(x-x₀)，即Bx-Ay=Bx₀-Ay₀。

解方程组

得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为：

……

17、根据上述内容,完成下列任务：

（1）补充“点到直线的距离公式”的推导过程；（10分）

（2）设计这部分内容的教学目标；（8分）

（3）根据教学目标设计这部分内容的教学过程（含课堂导入、公式推导、巩固提高、课堂小结及设计意图）。（12分）

 注：试题来源于考生回忆及网络，仅供参考！